圆锥曲线第三定义及点差法应用—圆锥曲线系列讲义之四

  圆锥曲线是高中教材中的内容，是高考中的重点和难点，一般高考卷中的最后两个压轴题中会有一个是圆锥曲线。当然她也是自主招生及数学竞赛中的一块“硬骨头”。因为往往有很大的计算量，对字母运算的要求相当高，一般高中数学联赛一试的大题中必有一个圆锥曲线的计算题，而且往往是最后一题压轴题。今年CMO中第4题又考察了椭圆的尺规作图问题，这更突显了她的重要地位。她既能联通高考与竞赛，又能联系代数和几何，还能贯通中学与大学，是所有学生都必须熟练掌握的内容。

       相关的书籍和文章汗牛充栋、层出不穷，但是往往陈陈相因、就题论题，很少见到详细、系统介绍总结圆锥曲线相关性质的文章。因此本人准备写上系列文章介绍圆锥曲线的常见性质和问题，这些性质和问题往往是对一般的椭圆或者双曲线抛物线都具有的性质。此系列文章适合比较优秀的高考学生（希望高考数学得高分的学生）以及准备自主招生和数学竞赛的学生，难度基本控制在高中数学联赛一试以内，希望学生通过阅读和联系文章中的性质，迅速理解此类问题的常见结论、掌握常用方法和技巧。这些内容也不是很多，但是应该都是很经典而且重要的性质。这些性质往往来源于经典问题或者高考题、竞赛题的一般化推广。而且此系列文章以椭圆为主，然后类推到双曲线、抛物线中，最后对于双曲线抛物线独有的性质再专门介绍。此系列开始的文章偏向于基本的联立方程运算，一般不专门涉及平面几何性质方法、参数方程、极坐标方法等。这些后面会专门作为章节介绍。

我们在前三篇文章中讲过，圆锥曲线的第一定义为到两定点距离之和或差为定值的点的轨迹为椭圆或双曲线；第二定义为到定点和定直线距离之比为定值e(<,=,>1)的点的轨迹（椭圆，抛物线，双曲线）。这篇文章讲圆锥曲线的第三种定义。

前面三篇基础文章是

当然上面的左右顶点也可以替换为上下顶点，事实上，只需要此两点在椭圆上且关于原点对称即可。此即为椭圆的第三定义：

2)本结论非常重要，故有人称之为圆锥曲线第三定义。不过这个称呼不是很正规，希望大家在考试中不要随意使用此名称。

3）为了避免直线斜率不存在的情况，本结论加上一句话“如果AP、BP斜率存在”会更严谨一些。不过为了避免啰嗦，也可以在运算中引入无穷以避免上述特例。

下面看本结论的一些应用：

2、A、B为椭圆C的左、右顶点，DB⊥AB，AD交C于M，BM交以BD为直径的圆于T，若O,T,D共线，求e；

思路分析：由1知AD、BM斜率乘积为定值，又由DT、BT斜率乘积为-1，代入消去D的纵坐标，得到含a,b等式即可。

注：本题是高考真题的一般化推广，初看有些迷茫。但是只要思路清晰，合理的消去参数m，将结果转化为含有已知比例的等式，思路还是比较流畅的。最终得到的结果也非常漂亮。

下面研究与AB中点M有关的问题：

4、设AB中点为M（x,y），求x,y,k间关系

思路分析：设出A,B,M各点坐标，由A、B在椭圆上，类似1中方法，将两式相减得到含有坐标的等式，再利用其几何意义应该就是所求的关系式。

注：1）此题解法非常经典，基本套路为“一设点，二做差，三变形”，此方法一般简称为“点差法”。此结论得到了圆锥曲线弦的中点坐标与弦的斜率的等式。此结论和方法深受高考、自主招生、竞赛的青睐，是高中学生必须熟练掌握的。点差法过程简洁，如果采用联立方程及韦达定理计算量会大很多。

即1与4等价。此结论可以类比圆中的直径对圆上点张直角及垂径定理来记忆和理解。

3)涉及到弦中点的问题用此结论及方法往往能迅速解决。

2）当点P位于椭圆外时，显然M的轨迹必然在椭圆C内，故应该是上述求的椭圆位于椭圆C内的部分。这里显示了点差法的缺点：点差法很快，但是求出来的往往是必要条件，未必是充分条件。因此还需要验证。希望大家在利用点差法的时候一定不要忽略验证。

6、求出所有的定点对A、B，使得对椭圆C上任意点M，AM、BM斜率乘积为定值。

思路分析：表示出乘积，通过取对称点得到A、B需要满足的条件即可。

注：本结论相当于1的逆命题，不过难度要高很多。达到了联赛一试难度，毕竟利用椭圆对称性取特值并不容易想到。

参考文献